作者：王树和 日期：2015-05-09 01:46:54
与点评
2.22黄金矩形系列
2.23捆绑立方体
2.24立方装箱与正方装箱问题
2.25巧测砖块对角线
2.26糕点售货员的打包技术
2.27三角形的内角和究竞多少度
2.28罗巴切夫斯基的想像几何学
2.29伟大的数学革新派罗巴切夫斯基
2.30细胞几何学
2.31蚂蚁的最佳行迹
03图论篇
3.1美丽图论
3.2人们跑断腿，不如欧拉一张图
3.3数学界的莎士比亚
3.4图是什么
3.5两个令人失望的猜想
3.6握手言欢话奇偶
3.7馋嘴老鼠哪里藏
3.8一辆车跑遍村村寨寨
3.9没有奇圈雌雄图
3.10树的数学
3.11一共生成几棵树
3.12生成一棵最好的树
3.13树上密码
3.14追捕逃犯
3.15乱点鸳鸯谱
3.16错装了信笺
3.17瓶颈理论和婚配定理
3.18中国邮路
3.19周游世界
3.20贪官聚餐
3.21正20面体上的剪纸艺术
3.22国际象棋马的遍历
3.23又是贪官聚餐
3.24天敌纵队和王
3.25图能摆平吗
3.26多面体黄金公式
3.27正多面体为何仅五种
3.28非平面图的两个疙瘩
3.29彩色图，不仅为了关
3.30五色定理和肯普绝招儿
3.31颜色多项式
3.32八皇后和五皇后问题
3.33近代最伟大的数学家
3.34妖怪的边色数
3.35亲疏恩怨，世态炎凉
3.36同色三角形
3.37拉姆赛数引发的数学劫难
3.38多心夫妻渡河
3.39巧布骨牌阵
3.40孙膑巧计戏齐王
3.41图上谎言
3.42走投无路之赌
3.43图上智斗
3.44平分苹果有多难
3.45周游世界谈何易
3.46梵塔探宝黄粱梦
3.47软件要过硬
3.48选购宝石与满足问题
3.49计算机数学的心腹之患
3.50同生共死NPC
3.51NPC题谱
卷末寄语
参考文献01算术篇
万物皆数，若没有数，则既不能描述也不能理解任何事物。
-毕达哥拉斯（Pythagoras，希腊数学家，公元前580—前500)
1.1从2+2=4谈起
一位聪明天真的小朋友问妈妈：“为什么2加2等于4?”妈妈答:“傻孩子，连这么简单的算术都不懂!”于是这位母亲伸出左手的两个指头，又伸出右手的两个指头，左右的两个指头往一起一并，说：“这就叫2加2，你数一数，看是不是4?”孩子勉强点头，接着又问：“可是4是什么玩意儿呢?”妈妈欲言而无语。是呀，如果母亲说这些指头的数目就叫做4，孩子再追问什么叫做999999999，那可就不好用指头之类的东西来比划着解释了！
事实上，反思我们小时候对加法的学习，确实是非理性的，完全是老师和家长向我们的脑子里灌进去而记住了的七加八一十五，七加五一十二之类的指令而已；认真思考起来，究竟每个自然数是如何定义的，加法是什么，为什么2+2=4，4+4=8，等等，确实是一个严肃的数学问题。
原始人已有自然数的初始概念，他们用小石头来记录捕捉的猎物的个数（或用“结绳记事”法）。有人捕来一只野兔，他们就在小坑里放上一颗石子，又有人捕来一只野兔，他们就在小坑中又投放一颗石子，等等。事实上，这逐一地向小坑中投石子的过程恰是加法运算的真谛，投一颗石子就叫做加上1，1加1得到的数量就叫做2，2再加1得到的数量就叫做3，等等。再后来，人们发现了加法的结合律，即1+1+1+1=(1+1)+(1+1)，等等。公元6世纪，印度数学家引人零的符号“0”，它是自然数的“排头”。到了19世纪，皮亚诺(G.Peano，1858!1932)提出了五条算术公理，才从理论上彻底解决了什么是自然数，为什么2+2=4等数学上的这些基本问题，他的三个概念与五个公理是：
0，后继和自然数，以及如下五条公理：
公理1，0是自然数。
公理2任何自然数的后继是自然数。
公理30不是任何数的后继。
公理4不同的自然数后继不同。
公理5对于某一性质，若0有此性质，而且若某自然数有此性质时，它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。
具体地说，0的后继中国人叫做一，美国人叫做one，1的后继中国人叫做二，美国人叫做two，等等。第五公理谈的是数学归纳法。一个自然数生出它的后继的过程是加法，记成0+1=1，1+1=2，2+1=3，3+1=4，n+1=(n+1)，等等。
由皮先生的公理可以明确无误地回答什么是自然数的问题，例如4是什么？答：4是3的后继，或曰4是3之“子”3呢？3是2的后继（2呢？2是1的后继（1呢？1是0的后继（0呢？0是祖宗，它不是谁的后继，是自然数的发源点。
2+2=4证明如下：
因为1+1=2，所以2+2=(1+1)+(1+1)，由结合律得2+2=(1+1)+(1+1)=(1+1+1)+1又因1+1+1=(1+1)+1=2+1=3所以2+2=3+1，而3+1=4，故知2+2=4是正确的。
证毕。
有了加法的概念，减法是加法的逆运算，乘法则是几个相同的数连加的“简写”，除法是乘法的逆运算。可见，从皮氏公理出发已经把+一X+的概念弄了个水落石出，不再是那种原始的直观感觉（例如结绳记事）或死记的九九表了。
查阅《现代汉语词典》上加法词目，词典称！“加法（i@D，数学中的一种运算方法%两个或两个以上的数合成一个数的方法'”这种解释实在科学’例如它只说“合成一个数”，并不说这个数（我们称其为和）是多少。事实上，现代数学对于1+1的和未必总是算出2来的。遥想原始人怎样形成数量的概念，最初只是“有”与“无”两个概念，他们尚没有“多少”的概念和斤斤计较的坏习气。就是现代，有时也只需考虑有与无，是与否，而不必细说有多少，例如我们要写字，关心的是有笔还是没有笔，至于有笔时有几枝，那都是一回事。如果这时规定0代表无（或否），1代表有（或是），则应有0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1。这个1+1=1的算式有点不习惯，但对于此处的实际背景，如此定义加法是再合适不过了。这种1+1不等于2，而等于1的加法称为“逻辑和”，1+1=1，于是（n是自然数）。
再看某种电视机开关，你用指头捅一下，它就为你播放节目，再捅一下，它就关机了，如果把关机状态记成0，把播放状态记成1，则有加法法则！
0+0=0，1+0=10+1=1，1+1=0
这种加法1+1≠2，1+1≠1，而是1+1=0。看见没有，这就是数字之妙，这种“数学志异”胜似《聊斋志异》！
1.2算术的基因和基理
算术四则运算，人人都有体会，那就是加减法简单，乘法也不太难，有个“九九歌”，背熟了去乘就是了。除法里“事儿”多，除得尽还好，除不尽还要考虑约分与余数，等等，花样不少。例如：100+4可写成
我们看到，除法实质上是分子分母的约分，等到把分子分母的公共因子都约光了，剩下的就是既约分数，如果这时分母为1，就除尽了。分子上的因子有两个2，两个5，这两个因子不能再变小，当然4和25，或20，也是100的因子，但它们还可以变小，那些不能再变小的因子，即除了1与自身外，别的自然数除不尽的自然数，是最简单朴素的了，我们称这种数为素数（朴素的素）或质数（质t卜的质），1也是这类性质的数，但大家约定1不称为素数，因为如果让1取得素数资格，例如100则可以写成100=1X1X1X1X1XX1X2X2X5X5，前方爱写几个1就写几个1，这就很不妙，一个自然数写成素数之积的形式时，形状就不唯一了。经验表明，如果不让1参加，一个自然数若不是素数，例如100，4什么的，可以唯一地写成若干素数的积，这一结论可以用数学归纳法证明，这就是著名的算术基本定理。
大于1的不是素数的自然数称为合数，即由若干素数相乘而成的数。
素数是合数的基因，任给大于1的自然数N，存在唯一的素数列P1≤P2≤≤Pn，使得N唯一地写成N=P1P2Pn，此定理称为算术基本定理，算术中很多证明，尤其是涉及除法时，主要靠这条结论去说理。
如果N是合数，则N=P1a1P2a2pmam，m≥1，P1，P2，，Pm是互异素数，a1，，am是正整数，其中P1由于不超过N的合数的最小素因子不超过槡N，因此欲求不超过N的一切素数，只需把1，2，，N中不超过槡N的素数的倍数划去(筛除），剩下的就是素数。
30<6，所以只考虑划去2，3，5的倍数，剩的是不超过30的那些素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。
显然，这种方法只能写出不超过N的自然数中素数的清单，N后面的自然数中还有不少素数，例如30之后的31就是。欧几里得第一个证明，素数的个数是无穷的。
事实上，若所有素数为P1，P2，，Pk，取N=P1P2Pk+1，N>1，设N本身是素数，N能除P1P2Pk+1(商为1)，又P1，P2，，Pk是所有素数，则N是某个Pi，i∈{1，2，，k}，于是N能除尽P1P2pk，P1P2pk+1被N除余1，与P1P2pk+1矛盾。若N是合数，则N有一个素数因子P，于是P=Pi，i∈{1，2，，k}，P能除尽P1P2pk，不能除尽P1P2pk+1，即P不能除尽N，与P是N之因子矛盾，可见全体素数不是有限个。
素数既然是算术中的基因，几乎所有的算术命题当中，都有素数参与其中，有关素数的命题集中了算术学科的难点。广为人知的难题很多，例如下面两个就是算术中难题的代表。
(1)关于孪生素数的黎曼猜想：孪生素数有无穷个
所谓孪生素数，即相差为2的一对素数，例如（3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，等等。
至今无人能证明或反驳这一猜想。
(2)哥德巴赫猜想
1742年6月7日，圣彼得堡中学教师，德国人哥德巴赫（Gold-bach)给瑞士数学家欧拉写信提出如下猜想：
每个大于或等于6的偶数都是两个素数之和；每个大于或等于9的数都是个数之。
两素数之和当然是偶数，但是事情让哥德巴赫反过来一提，可就给数学界惹来了天大的麻烦。欧拉给哥德巴赫的回函中说：“我不能证明它，但是我相信这是一条正确的定理。”欧拉无能为力的问题，别人怕是很难解决了。在其后的150多年当中，多少专业的和业余的数论工作者，都兴趣盎然地冲击这一看似真实的命题，无奈人人不得正果。1900年，数学界的领袖人物希尔伯特（Hilbert)在巴黎召开的世界数学家大会上向20世纪的数学家提出23个待解决的名题，其中哥德巴赫猜想列为第八问题。可惜20世纪的百年奋斗仍然辜负了希尔伯特的期望。
奉劝阅历尚浅、热情十足的年轻朋友，不可受某些不懂数学的记者们的误导，随便立志以攻克哥德巴赫猜想为己任，而应当从实际出发，打好坚实的数学理论基础，培养数学研究的能力，再来考虑攀登哪个高峰的问题。
这里面对的是一个数学问题，不能沿用物理学家诉诸反复若干次实验来证实的办法，例如有人对不超过33X106的偶数逐一验证，哥德巴赫猜想都是成立的，但那仍然不能解决问题。
下面是近百年来关于哥德巴赫猜想的大事记。
1912年，数学家朗道提出相近的弱猜想：
存在一个自然数M，使得每个不小于2的自然数皆可表成不超过M个素数之和。
此猜想于1930年证明为真；如果M<3就好多了。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了哥德巴赫猜想的后半句为真，即大于或等于9的奇数是三个素数之和，这是关于哥德巴赫问题的重大突破，引起了不小的轰动。但前半句至2000年基本上未被解决。
我们约定：命题“大于等于6的偶数可表示成a个素数之积加上p个素数之积”记成（a+戽，则哥德巴赫问题是：证明或反驳（1+1)。
1920年，朗道证明了（9+9)。
1924年，拉德马哈尔证明了（7+7)。
1932年，依斯特曼证明了（6+6)。
1938年，布赫塔布证明了（5+5)。
1938年，华罗庚证明了几乎所有的偶数都成立（1+1)。
1940年，布赫塔布等证明了（4+4)。
1947年，雷尼证明了（1+?)。
1955年，王元证明了（3+4)。
1957年，小维诺格拉多夫证明了（3+3)。
1957年，王元证明了（2+3)。
1962年，潘承洞证明了（1+5)。
1962年，潘承洞、王元证明了（1+4)。
1965年，布赫塔布、小维诺格拉多夫、邦比尼证明了（1+3)。
1966年，陈景润证明了（1+2)，于1973年发表。
尽管（1+2)离（1+1)只“一步之遥”，但一步登天的事谈何容易！从陈景润搞出（1+2)至今已有30多年，一直没有人在这个阵地上前进半步，我国的陈景润仍然是此项世界纪录的保持者。
培养出如陈景润这样杰出的数学家，不但具有广深扎实的数学素质，而且具有全身心奉献科学事业的品质，乃是我们教育工作者的一项