作者：王树和 日期：2015-05-09 01:48:00
《数学演义》对古今中外著名的数学故事用演义文体进行通而不俗、深入浅出的论述。例如十进制和二进制的故事和游戏，《九章算术》寓理于算的高招，三次方程与四次方程求根公式的演绎，兔子序列与优选法，笛卡儿之梦，油漆匠悖论，人口论中的数学，太和殿的屋顶是什么形状？怎样对图进行计算？防空导弹需要多少枚？如何算出系统工程的竣工日期？你想做数学家吗？等等。行文流畅生动，推理严格简洁，是一部雅俗共赏的科普著作。
目录：
丛书修订版前言
第一版总序
前言
第一回手指脚趾计数自然
二进十进游戏高雅1
第二回测天度地作周髀
弄巧动智证勾股4
第三回欲知何谓无理数
应寻谁是戴德金11
第四回诡辩派胡诌规尺作图题
众后生高谈扩域超越数16
第五回数学之神巧施反证定圆亩
阿基米德切片秤量度球积23
第六回引葭赴岸刘徽设计公式解
玉枝倾倒天竺学吟莲花诗28丛书修订版前言
第一版总序
前言
第一回手指脚趾计数自然
二进十进游戏高雅1
第二回测天度地作周髀
弄巧动智证勾股4
第三回欲知何谓无理数
应寻谁是戴德金11
第四回诡辩派胡诌规尺作图题
众后生高谈扩域超越数16
第五回数学之神巧施反证定圆亩
阿基米德切片秤量度球积23
第六回引葭赴岸刘徽设计公式解
玉枝倾倒天竺学吟莲花诗28
第七回刘徽首创等幂等积定理
祖暅巧算牟合方盖体积32
第八回五家共井刘徽解法不俗
大竹小竹九章招数真绝37
第九回莞蒲生叶引发指数方程
两鼠穿墙呼唤对数解法42
第十回五湖四海能者细算圆周率
古今中外何人通晓实数π46
第十一回痴迷数学张遂剃度天台山
创立天元李冶隐居封龙谷51
第十二回杨辉三角藏数理
华老觚板揭玄机56
第十三回天地人物汉卿著《四元玉鉴》
堆垛岚峰松庭作《算学启蒙》61
第十四回神农幻方杨辉献艺
忧郁图版丢勒作秀68
第十五回三次方程闹剧获得公式解
神医卡丹内疚难舍诡辩量72
第十六回严刑逼供伽利略违心交出悔过书
死不悔改保释犯巧手发明扇形规80
第十七回比萨才子宠养兔子成序列
斐波那契应试宫廷得满分85
第十八回给我两个互素自然数
送君一枚正星多边形91
第十九回豪华广场追求地面别致
美丽石砖讲究边角适度93
第二十回欧拉函数奇妙无穷
费马定理难度有限96
第二十一回算术游戏岂止诙谐惬意
数学小品绝非粗俗作秀101
第二十二回帕普斯五线一点求轨迹
笛卡儿一夜三梦得魔钥104
第二十三回牛顿求导表述欠妥
牧师发难搬弄是非110
第二十四回伯克莱悖论一波未平
油漆匠谬言惊澜再起113
第二十五回欧拉柯西众贤加固微积分
外尔斯特拉斯力驳伯克莱116
第二十六回伯努利摆擂征解速降线
牛莱欧应战创立变分法127
第二十七回帕斯卡费马分赌本
伯努利卡丹论概率140
第二十八回投针求π数理不凡
随机画弦悖论真刁146
第二十九回二马高谈人口论谁是谁非
利柏计算考古学孰真孰假150
第三十回公理定理严密准确
谬论悖论似是而非155
第三十一回直觉恩赐过我们
直觉误导过我们166
第三十二回斯巴达魔咒腰带缠棍可破译
RSA明文密钥公开不泄密171
第三十三回凯莱大律师攒钱研究代数
网络邻接阵计量细算图论177
第三十四回康托尔创建数学天堂
庞加莱诅咒集合地狱187
第三十五回英国海岸几多长
北疆雪花何其美193
第三十六回设空防搞空袭胜率多少
备导弹派飞机耗损几何202
第三十七回微分方程天上人间常见模型
定性理论现代数学主要分支210
第三十八回系统工程须统筹
关键工序应先知226
第三十九回人皆尊重有为者
我也要做数学家231
第四十回数学演义言犹未尽
篇末寄语情丝不断238
参考文献240第一回手指脚趾计数自然二进十进游戏高雅
话说5万多年前，我们的祖先手持石器木棒，刀耕火种，狩猎捕鱼，逐渐有了“有无与多少”的概念。他们清点猎物和收获的野果，拿过一只山鸡，就扳屈一个指头，10个指头全扳屈了，就在地上放一块石子，心知已得10只山鸡，这就是10进制的萌芽。指头是自然界赋予人类的，所以后人称从1开始的正整数为自然数。19世纪，德国大数学家克罗内克说：“上帝创造了自然数，其余一切都是人造的。”此话中的“上帝”如果理解成宇宙，则此言言之有理。我国民间约定俗成了一种“手指数”：伸直一个指头代表1，伸直两个指头代表2，，伸直五个指头代表5，伸出大拇指与小拇指代表6，伸出食指与中指和大拇指捏在一起代表7，伸出大拇指与食指代表8，伸出食指且弯曲代表9，伸出一个拳头代表10。古代南美洲印第安人生活困苦，加之天气炎热，几乎人人赤脚，于是在他们的玛雅文化中使用20进制(手指加脚趾=20)，有些国家也受了玛雅文化的影响，例如丹麦人、威尔士人、格陵兰人等，用一口人代表20，两口人代表40等等，英国人常用Score(20，记账，计算)这个词，他们心目中20和计数是有内在联系的。古巴比伦人(今伊拉克人的祖先)则用60进制，全世界的计时一直到现在仍在沿用60进位制。
到了近代，数学家把进位制用级数来表达，例如
在十进制中，2004=4×100+0×101+0×102+2×103
模仿十进制的这种表达方式，其他进位制的数字最大者不能超过进位制基数(十进制基数是10)减1，例如5进制中没有形如2005这个数。
在5进制中数码2004折合成10进制为254(符号表示“规定”)：20044×50+0×51+0×52+2×53=254在20进制中数码2004折合成10进制为16004：20044×200+0×201+0×202+2×203=16004一般而言，正整数在10进制中是N，则当N=a0×b0+a1×b1+a2×b2++an×bn时，在b进制中写成N=anan-1an-2a0，其中b是自然数。
17世纪，德国大数学家莱布尼茨发明了二进制，在二进制中，只有0与1两个数字，如果0是断电，1是通电，则用0-1化表达的整数适于“电气化”，所以在计算机上二进制很吃香。
在十进制与二进制中，可以编制不少好玩的数字游戏。
【游戏1】“用手指计算器”计算5到10之间的任二数之积。
例如8×9，一只手上伸出8-5=3个指头，另一只手伸出9-5=4个指头，3+4=7，7就是积的十位数字，把两手弯曲的指头数相乘得
2×1=2，2就是积的个位数，于是8×9=72。
道理：ab=［(a-5)+(b-5)］10+(10-a)(10-b)。
【游戏2】把你心中的两位数的十位数字乘以5加上7，再二倍，加上原来两位数的个位数，结果是几？这个几减去14就是你让我猜的那个数。
道理：设你心中的两位数是ab，则2(5a+7)+b=(10a+b)+14=ab+14。
【游戏3】把你心中的三位数的百位数字乘以2，加上3，乘以5，加上7，再加上原来那个数的十位数字，乘以2，加上3，乘以5，再加上原来那个数的个位数字，结果是几？这个几减去235就是你让我猜的那个数。
道理：设你心中的三位数是abc，则
52［5(2a+3)+7+b］+3+c=100a+10b+c+235。
【游戏4】把你心中的三位数的数字顺序颠倒过来，如果你那个数百位与个位不一样，你告诉我这两个数之差的最后一个数字，我就能猜出这个数。
道理：abc=100a+10b+c，cba=100c+10b+a，a≠c，于是
abc-cba=100(a-c)+(c-a)，知道了c-a，就知道a-c，于是差100(a-c)+(c-a)就知道了。
【游戏5】①13579111315
②236710111415
③456712131415
④89101112131415
一个不超过15岁的孩子，只要他告诉我他的年龄在哪几行，我立刻知道他今年几岁。
谜底：把他告知的那几行的排头相加即得。
道理：把上述4行的数(1至15)都表成二进制，则知第1行最后数字是1，第2行倒数第2个数字是1，第3行倒数第3个数字是1，第4行第1个数字是1，而未知数(年龄)x可表示成x=a020+a121+a222+a323x在第n行，则an-1=1，例如你说你的年龄在1，3，4行，则a0=a2=a3=1，x=a020+a121+a222+a323=1+22+23=13(岁)。
如果你用1到31(25-1)这31个数字排成5行，每行16个数，排头分别是1，2，4，8，16，且把在2进制中最后一个数字为1的数排在第1行，把2进制中倒数第2个数字为1的数排在第2行，倒数第3个数字为1的排在第3行，倒数第4个数为1的排在第4行，倒数第5个数为1的排在第5行。则可以问一位青少年(不超过31岁)，让他告知他的年龄在第几行，再把这几行的排头相加，即是他的年龄。
依此类推，可以制作n+1行的数表，排头分别是1，2，4，，2n，进行相似游戏。且容易证明每行恰有2n个不同的数，这些数来自｛1，2，3，，2n+1-1｝。
第二回测天度地作周髀弄巧动智证勾股
第二回测天度地作周髀
弄巧动智证勾股
公元前11世纪，商纣王暴虐无道，宠淫妇妲己，杀忠臣比干，朝廷挥霍无度，官僚苛政猛于虎，弄得神州民不聊生；周武王起兵伐纣，一呼百应，纠兵不堪一击，纣王兵败自焚，西周建国。武王封其胞弟周公为相，周公乃中国古代第一聪明人，他上知天文下知地理又精通数学，不但有治国平天下之韬略，而且重视科学技术，鼓励臣民钻研自然科学。朝中一位文臣唤作商高，这位商高是当时有名的星相家，兼善计算，一日，风和日丽，朝中无要事，周公在王家花园散步，见商高拿一个绳圈摆弄，只见那绳圈上用红色等分成12等份，每份1尺(1米=3尺)。周公问道：“此物何用？”商高答：“此圈大有学问。”周公追问：“何许学问，请先生指教。”商高于是向这位开国重臣论述了下面一段12尺绳圈上的数学，商高考虑边长为整数的由绳圈构成的三角形。
(1)把绳圈拉紧构成的三角形中，不会有边长大于5的三角形。
事实上，设由绳圈构成的三角形中边长分别为x尺、y尺和z尺，则应有x+y+z=12若x≥6，则y+z=12-x≤6≤x而在三角形中，两边之和y+z应大于第三边x，矛盾，所以x不应大于5。
这时x∈｛1，2，3，4，5｝。
(2)当x=1时，y+z=12-x=11。与(1)同理可知y≤5，z≤5，这样，y+z≤10，与y+z=11矛盾，可见不存在x=1尺的由绳圈构成的三角形。
(3)当x=3时，y+z=12-3=9，y≤3时，z=9-y≥9-3=6，与z≤5相违，故y≥4；同理z≥4，于是只能是y=4，z=5，或y=5，z=4，即这时三角形三边长只能是3尺、4尺和5尺。
(4)当x=4时，y+z=12-4=8，由y≤5，z≤5知y∈｛3，4，5｝，这时只有三种可能：
①x=4，y=3，z=5，②x=4，y=4，z=4，③x=4，y=5，z=3。
由①②③知绳圈构成的边长为整数的三角形，若一边长为4，则只有两种情形，或者边长分别为3尺、4尺和5尺，或者是边长为4的正三角形。
(5)当x=5时，y+z=12-5=7，又由y≤5，z≤5知y∈｛2，3，4，5｝，这时只有四种可能：
④x=5，y=4，z=3，⑤x=5，y=5，z=2，⑥x=5，y=3，z=4，⑦x=5，y=2，z=5。
综上所述，商高对周公下结论说：
用这条绳圈构成的边长为整数的三角形只有三种：
第一种：三边长皆4尺的正三角形，它的三个角都是60°。
第二种：底边长2尺，两腰皆5尺的等腰三角形。
第三种：边长分别为3尺、4尺和5尺的一个三角形，这个三角形有一个角是90°，这个角与5尺长的边相对；我把它的最短边叫做勾，最长的边叫做弦，另一条边叫做股，这时勾2+股2=弦2，(即32+42=52)。
勾3股4弦5的这种直角三角形是由三个连续整数为边长的唯一的直角三角形。事实上，设x为整数，x-1，x，x+1是一个直角三角形的三条边之长，由
勾2+股2=弦2
得
(x-1)2+x2=(x+1)2
x(x-4)=0
解得正整数x=4，于是x-1=3，x+1=5，即这种三角形是唯一的，它就是我们上面由绳圈构成的那个勾3股4弦5的直角三角形。
周公听了商高上述一番论述，赞叹道：“商高贤弟真神人也。”周公向商高咨询如何计算天有多高地有多广。周公问道：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答道：“勾广3，股修4，径隅5。”商高指着竖立的8尺长的牛大腿骨说，大人您瞧，这根“周髀”的影子长6尺，按我们上面从绳圈得到的结论，即按直角三角形三边之比为3∶4∶5可知，从“周髀”的顶到“周髀”影子的端点之距离应该是2×5=10尺。见图2-1。如果我们能测得日下之长AD，则可以得日高股长=AD勾长
斜至日弦长=AD勾长从而算出日高与“斜至日”。
图2-1
后来周公的后代陈子把商高的“勾三股四弦五”的结论32+42=52推而广之，说了下面一句十分重要的有历史意义的话：“求斜至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日。”此言载入我国最早的一部数学经典《周髀算经》上。陈子的话用现在的话来讲就是“直角三角形斜边之长等于两直角边平方和的算术平方根”，此即我们现在所说的勾股定理。据说陈子等人测得“日下=60000里，日高=80000里”(1里=500米)，于是
斜至日=600002+800002=100000里
这些数据显然是错的，在不知宇宙的无穷性和地球是球状星体又缺乏测